Le contre la montre par équipe



Prenons a le dossard de Paul, b celui de Bernard, c celui de Pierre et d celui de Louis.

(1) (a + b + c + d) / b = c/10
(2) (a + b + c + d) / c = b/10
(3) (a + c - 1) = 2d
(4) (a + d - c) = 3/4 b
(5) d - a = 1

La (1) et la (2) ne nous avance pas à grand chose puisque :

(1) ---> (a + b + c + d) = bc/10
(2) ---> (a + b + c + d) = bc/10 soit pour les deux
---> c = 10 (a + b + c + d) / b
---> c = 10a/b + 10b/b + 10c/b + 10d/b
---> c = 10a/b + 10c/b + 10d/b +10
(3) ---> d = (a + c - 1) / 2
(4) ---> b = 4/3 (a + d - c)
(5) ---> a = d - 1

On se retrouve avec 4 équations et 4 inconnues :

Mettons la (5) dans la (4) on a :
(6) b = 4/3 ((d-1) + d - c)
---> b = 4/3 (2d - c - 1)
Mettons la (5) dans la (2) on a :
(7) c = 10(d-1)/b + 10c/b + 10d/b +10
---> c = 10d/b - 10/b + 10c/b + 10d/b + 10
Mettons la (5) dans la (3) on a :
(8) d = ((d - 1) + c - 1) / 2
---> d = d/2 - 1/2 + c/2 - 1/2
---> d - d/2 = c/2 - 1
---> d/2 = c/2 - 1
---> d = c - 2

On se retrouve avec 3 équations et 3 inconnues :

Mettons la (8) dans la (6) on a :
(9) b = 4/3 (2(c - 2) - c - 1)
---> b = 4/3 (2c - 4 - c - 1)
---> b = 4/3 (c - 5)
Mettons la (8) dans la (7) on a :
(10) c = 10(c - 2)/b - 10/b + 10c/b + 10(c - 2)/b + 10
---> c = 10c/b - 20/b - 10/b + 10c/b + 10c/b - 20/b + 10
---> c = 30 c/b - 50/b + 10
---> c - 30c/b = 10 - 50/b
---> c (1 - 30/b) = 10 - 50/b
---> c = (10 - 50/b) / (1 - 30/b)
---> c = (10b - 50) / (b - 30)

On se retrouve avec 2 équations et 2 inconnues :

Mettons la (9) dans la (10) on a :
(11) c = (10(4/3 (c - 5)) - 50) / ((4/3 (c - 5)) - 30)
---> c = (40c/3 - 200/3 - 50) / (4c/3 - 20/3 - 30)
---> c = (40c/3 - 350/3) / (4c/3 - 110/3)
---> c =(40c - 350) / (4c - 110)
---> c (4c - 110) = 40c - 350
---> 4c2 - 110c - 40c + 350 = 0
---> 4c2 - 150c + 350 = 0

Equation du second degré donnant c = 2,5 ou c = 35
Comme un dossard est obligatoirement un nombre entier donc c = 35

Mettons c dans la (9) :
b = 4/3 (35 - 5)
b = 40
Mettons c dans la (8) :
d = 35 - 2
d = 33
Mettons d dans la (5) :
a = 33 - 1
a = 32
 

Paul a donc le dossard 32, Bernard le 40, Pierre le 35 et Louis le 33


 

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