Les postulantes

Soient a le nombre de petites blondes et b le nombre de grandes blondes.
Soient c le nombre de petites brunes et d le nombre de grandes brunes.
Soient e le nombre de petites rousses et f le nombre de grandes rousses.

On a :

a + b + c + d + e + f = 150 (1)
a + c + e = 150 * 60 / 100 = 90 (2)
e = b (3)
f = 4/9 a (4)
c + d = 75 (5)

Mettons la (3) dans la (2), on a :
a + b + c = 90 (6)

Soustrayons la (6) de la (1), on a :
a + b + c + d + e + f - a - b - c = 150 - 90
d + e + f = 60 (7)

Mettons la (3) et la (4) dans la (7), on a :
4a/9 + b + d = 60 (8)

Soustrayons la (8) de la (6), on a :
(a - 4a/9) + (b - b) + c - d = 30
---> 5a/9 + c - d = 30 (9)

La (5) donne d = 75 - c, mettons celà dans la (9), on a :
5a/9 + c - 75 + c = 30
---> 5a/9 + 2c = 105
---> 5a + 18c = 945
---> a = 189 - 18c/5 (10)

On sait que a, b, c, d, e et f sont tous des entiers donc dans la (10), pour que a soit un entier positif, il faut que 18c/5 soit un entier et qu'il soit inférieur à 189. L'énoncé nous dit que chaque nombre est un multiple de 3 et puisque 18c/5 est un entier, c est aussi un multiple de 5 donc c est un multiple de 15 tout en étant inférieur à 75 puisque la (5) nous donne c = d - 75 et d ne peut pas être inférieur à 0. Les seules possibilités pour c sont donc 0, 15, 30, 45, 60 et 75.

Si c = 0 alors l'équation (10) donnerait a = 189 et en raportant ces deux nombres dans la (6) on aurait b = -99 ---> impossible
Si c = 15 alors la (10) donnerait a = 135 et en raportant ces deux nombres dans la (6) on aurait b = -45 ---> impossible
Si c = 30 alors la (10) donnerai a = 81 ce qui ramené dans la (2) donnerai e = -21 --->impossible
Si c = 60 alors 18c/5 = 216 ce qui donnerai a = -27 ---> impossible
Si c = 75 alors 18c/5 = 270 ce qui donnerai a = -81 ---> impossible

c vaut donc 45.
La (5) donne 45 + d = 75 ---> d = 30
La (10) donne a = 27
La (6) donne 27 + b + 45 = 90 ---> b = 90 - 45 - 27 ---> b = 18
La (3) donne e = 18
La (4) donne f = 12
 

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