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Soit N le nombre de 6 chiffres à chercher. Puisque 6xN est aussi à 6 chiffres, le premier est obligatoirement 1. Ce 1 prendra les 5 autres positions ( deuxième place, troisième place, etc) dans chacune des multiplications par 2, 3, 4, 5 et 6. Arrêtons nous lorsque le 1 est en dernière place : dans les tables de multiplications, la seule multiplication qui donne un résultât finissant par un 1 est 3 fois 7. Comme on sait que le nombre N est à multiplier au plus par 6, le dernier chiffre ne peut pas être le 3. C’est donc le chiffre 7 qui se trouve à la dernière place de ce nombre N et c’est lors de la multiplication par 3 qui le 1 se retrouve à la dernière place dans le résultât.
Nous connaissons donc maintenant 2 des 6 chiffres : le 1 et le 7 (chacun à une extrémité).
Puisque le dernier chiffre de N est un 7, lors de la multiplication par 2 le résultât finit par un 4, lors de la multiplication par 3 le résultât finit par un 1, lors de la multiplication par 4 le résultât finit par un 8, lors de la multiplication par 5 le résultât finit par un 5, lors de la multiplication par 6 le résultât finit par un 2.
A partir de là, il y a 2 manières de procéder : la plus simple mais aussi la plus longue et la plus rapide mais aussi la plus compliquée :
Solution 1 :
Lors de la multiplication par 3, le deuxième chiffre ne peut pas être le 2 car 12 par 3 donne 36 et
on vient de vous le dire, il n’y a pas de 3 dans les chiffres trouvés (et même si le troisième chiffre lors de sa multiplication
par 3 apporte une retenue, celà ne change rien car cette retenue serait au pire de 2). La deuxième place ne peut pas non plus être tenue
par le 8 car lors de la multiplication par 6 on aurait (et sans tenir compte des retenues provenant de la multiplication du troisième chiffre) :
18 x 6 = 108 ce qui donnerait au résultât un nombre à 7 chiffres. Ce ne peut pas être le 5 non plus car lors de la multiplication par 2 (et ce,
quelque soit la retenue provenant de la multiplication du troisième chiffre qui au pire, dans une multiplication par 2, vaudrait 1) on trouverait
30 (ou 31 avec la retenue) et on sait qu'il n'y a pas de 3 dans les 6 chiffres de N. Donc la deuxième place est tenue par le 4.
Nous avons donc maintenant : N = 1 4 _ _ _ 7 avec au milieu un 8, un 5 et un 2.
Imaginons qu’en avant-dernière place nous ayons le 2. Lors de la multiplication par 5, le 7 donne un 5 +
une retenue de 3 et le 2 donne 0 + les 3 de retenue = 3. Combien de fois dois-je le répéter, il n’y a pas de 3 dans les chiffres trouvés.
Alors essayons le 8 en avant-dernière position. Lors de la multiplication par 5, le 7 donne le 5 avec une retenue de 3 et le 8 donne 0 +
la retenue de 3 = 3. Alors vous vous êtes du genre tenace : puisqu’on vous dit qu’il n’y a pas de 3. Il ne reste plus que le 5 pour prendre
l'avant-dernière place.
Nous avons donc maintenant : N = 1 4 _ _ 5 7 avec au milieu un 8 et un 2.
Recommençons une dernière fois. Mettons le 2 en quatrième position et regardons lors de la multiplication par 3 :
le 7 donne 1 avec une retenue de 2, le 5 donne 5 + la retenue de 2 = 7 avec une retenue de 1 et le 2 donne 6 + la retenue de 1 = 7.
Ce qui donnerait 2 fois le chiffres 7 dans le résultât de la multiplication par 5 (à la quatrième et à la cinquième place). Donc le quatrième
chiffre est le 8 et le 2 se retrouve en troisième place.
La solution est donc 142.857
Solution 2 :
On sait que ces 6 chiffres (1, 2, 4, 5, 7 et 8) se retrouvent dans les 6 multiplications (par 1, 2, 3, 4, 5 et 6).
La somme de ces 6 chiffres donne : 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 = 27. En additionnant les 6 nombres tout en tenant compte des dizaines, des centaines,
des milliers, etc , on a :
27 + 270 + 2.700 + 27.000 + 270.000 + 2.700.000 = 2.999.997.
Or, ce total est aussi égal au nombre initial multiplié par (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) soit 21.
Donc : N = 2.999.997 / 21 = 142.857
142.857 x 2 = 285.714
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