Juste une question d'âge

Quand X était égal à Y, Y était égal à Y - (X - Y) soit 2Y - X (1)
Quand Y sera égal à X alors X sera égal à X + (X - Y) soit 2X - Y (2)

On sait que quatre fois la (1) est égal à 2 fois la (2) donc :
8Y - 4X = 4X - 2Y ---> 5Y = 4X

Une équation, deux inconnues, c'est pas évident à résoudre mais on peut cerner le résultât :
Pour que l'égalité soit vrai, il faut que X soit divisible par 5 (Y = 4X/5) et que Y soit divisible par 4 (X = 5Y/4) de manière à obtenir à chaque fois un résultât entier. Réduisons au maximum cette équation de manière à ce que le résultât soit toujours un nombre entier : en gros divisons chacun des termes par 20 (5 x 4). On obtient X/5 = Y/4
Chacun des termes (X/5 et Y/4) est un nombre entier que l'on baptisera Z (X/5 = Y/4 = Z). Puisque aucun des deux frères n'a plus de 100 ans, Z ne peut pas valoir plus de 19 (pour Z = 20 ---> X = 100)

On sait aussi que X + Y est un cube parfait. Les seuls cubes qui respectent cette condition sont 1 (1 x 1 x 1), 8 (2 x 2 x 2), 27 (3 x 3 x 3), 64 (4 x 4 x 4), 125 (5 x 5 x5) et pour 6 ont dépasse 200 (6 x 6 x 6 = 216) ce qui signifierait que l'un des frères (ou les deux) a plus de 100 ans. On peut éliminer le premier (si la somme des deux âges est égale à 1 et que l'un des frères est plus jeune que l'autre celà veut dire qu'il n'est pas né !!!). En calculant X (X = 5Z) et Y (Y = 4Z) pour tous les Z possibles entre 1 et 19, la seule possibilité est X = 15 et Y = 12. Et dans ce cas Z = 3 (15 + 12 = 27 et 3 x 3 x 3 = 27).
 
 

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