Le sixième assassinat

Soit N l'année de naissance du juge, A son âge et X la somme des 4 chiffres composant son année de naissance.

Combien de combinaisons de nombre à 3 chiffres peut-on faire avec 4 chiffres :

4 x 3! = 4 x 6 = 24 combinaisons.

Comment trouver ces 24 nombres ? On ne peut pas mais ce que l'on sait c'est qu'ils s'écrivent tous sur 3 chiffres, chaque chiffre (appelons les C) peut au maximum valoir 9 et le premier représente les centaines, le deuxième les dizaines et le troisième les unités (La Palisse n'aurait pas dit mieux mais ce n'est pas innocent de l'expliquer ainsi). X est la somme des 4 chiffres de l'année de naissance donc puisque C peut au maximum valoir 9 c'est que X peut au maximum valoir 36 et donc C = X/4.
Chacunes des combinaisons s'écrivent C₁C₂C₃  ce qui correspond à (100C₁+ 10C₂+ C₃).
---> ce qui s'écrit aussi 100X/4 + 10X/4 + X/4

On connaît maintenant la somme de toutes ces combinaisons. On sait que divisée par 9 puis par 10, elle vaut 2 fois l'âge du juge. Donc :

2A = (24 (100X/4 + 10X/4 + X/4)) / 9 / 10
---> 2A = (24 (100 + 10 + 1)X/4) / 90
---> 2A = 6 (111) X / 90
---> A = 333 X / 90
---> A = 37 X / 10 (1)
(Avec X valant au maximum 36)

Reprenons, mais cette fois-ci plus en détail, les chiffres écrivant son année de naissance. Le premier est obligatoirement un 1 (çà m'étonnerai que le juge soit né avant l'an mille). Sachant que le premier chiffre est un 1 les trois derniers ne peuvent pas être 999 (celà ferait 1999). Donc X au maximum = 1 + (3 x 9) - 1 = 27
L'équation (1) nous montre que si A doit être un chiffre entier (ce qui est mieux pour un âge. On ne dit pas "j'ai 33,345 ans") X doit être un multiple de 10. Entre 1 et 27 il n'y en a que 2 : 10 et 20.

Essayons 10. Celà donne 37 ans pour le juge. Mais 10 est aussi la somme des quatre chiffres de son année de naissance. Le premier chiffre est un 1; il reste donc 9 pour composer les 3 derniers chiffres. Le deuxième chiffre est obligatoirement supérieur ou égal à 8 ( il n'a pas pu naître dans les années 1700 ou avant. Si le deuxième chiffre est 8 celà ne laisse que deux possibilités : 1801 ou 1810. Si le deuxième chiffre est 9 celà ne laisse qu'une possibilité : 1900. Comparez ces trois années de naissance possibles avec l'année du récit donnée dans la solution du quatrième assassinat, vous verrez que c'est impossible. Il ne reste que 20 :
 

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